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Exemples de solutions des problèmes pour calculer les caractéristiques et choisir une conduite optimale:

Sommaire:

Problème №1. Calcul du diamètre minimal d’une conduite

Calcul du diamètre minimal d’une conduite

Enoncé: l’installation pétrochimique pompe le paraxylène С6Н4(СН3)2 sous la température de (Т) =30 °С et avec le rendement (Q) = 20 m3/h via une conduite en acier de longueur de (L) = 30 m. La densité du p-xylène (ρ) = 858 kg/m3. Sa viscosité (μ) = 0,6 cP. La rugosité absolue de l’acier (ε) = 50   µm.

Données initiales: Q=20 m3/h; L=30 m; ρ=858 kg/m3; μ=0,6 cP; ε=50 µm; Δp=0,01 mPа; ΔH=1,188 m.

Problème: calculer le diamètre minimal de la conduite qui permettrait de ne pas dépasser le taux de Δp=0,01 mPа (ΔH=1,188 m de la colonne du p-xylène) de la chute de pression.

Solution: ne connaissant pas la vitesse du flux (v) et le diamètre de la conduite (d) nous ne pouvons pas calculer ni le nombre de Reynolds (Re), ni la rugosité relative (ɛ/d). Utilisons la valeur du coefficient de frottement (λ) pour calculer la valeur (d) à l’aide de l’équation des pertes d’énergie et de l’équation de continuité. Après avoir trouvé la valeur (d) nous allons calculer le nombre de Reynolds (Re) et la rugosité relative (ɛ/d). Puis, à l’aide du diagramme de Moody nous allons recevoir la nouvelle valeur (f). Ainsi, par le biais de la méthode des itérations consécutives nous allons calculer la valeur désirée du diamètre (d).

Servons-nous de l’équation de continuité v=Q/F et de la formule de la surface du flux F=(Π·d²)/4 pour modifier l'équation de Darcy-Weisbach de façon suivante:

∆H = λ · L/d · v²/(2·g) = λ · L/d · Q²/(2·g·F²) = λ · [(L·Q²) / (2·d·g·[(Π·d²)/4]²)] = (8·L·Q²)/(g·Π²) · λ/d5 = (8·30·(20/3600)²)/(9,81·3,14²) · λ/d5 = 7,658·10-5 · λ/d5

Exprimons le diamètre (d):

d = 5(7,658·10-5·λ)/∆H = 5(7,658·10-5·λ)/10000 = 0,0238·5λ

Exprimons la valeur du nombre de Reynolds (Re) via le diamètre (d):

Re = (ρ·v·d)/μ = (4·ρ·Q)/(Π·μ·d) = (4·858·20)/(3,14·3600·0,6·10-3·d) = 10120/d

Calculons la rugosité relative de façon analogique:

ε/d = 0,00005/d

Afin de procéder à la première étape de l’itération il est nécessaire de choisir la valeur du coefficient de frottement. Prenons la valeur moyenne (λ) = 0,03. Calculons (d), (Re) et (ε/d):

d = 0,0238·5(λ) = 0,0118 m

Re = 10120/d = 857627

ε/d = 0,00005/d = 0,00424

Connaissant ces valeurs effectuons l’opération inverse et définissons le coefficient de frottement (λ) par le biais du diagramme de Moody. Il sera égal à 0,017. Calculons (d), (Re) et (ε/d) pour la nouvelle valeur de (λ):

d = 0,0238·5λ = 0,0105 m

Re = 10120/d = 963809

ε/d = 0,00005/d = 0,00476

Servons-nous une fois de plus du diagramme de Moody pour calculer la valeur actualisée (λ) = 0,0172. La valeur reçue se diffère de celle choisie initialement de [(0,0172-0,017)/0,0172]·100 = 1,16%, ce qui indique qu’une nouvelle étape d’itération n’est pas nécessaire et les valeurs calculées ci-dessus sont bonnes. Ainsi, le diamètre minimal de la conduite est de 0,0105 m.

Problème №2. Choix d’une décision économique optimale d’après les données initiales

Enoncé: deux variantes de conduites de diamètres différents ont été proposées pour un processus de production. La première variante propose d’utiliser les conduites d’un plus grand diamètre, ce qui implique un grand coût d'investissement (Ci1) = 200 000 roubles, quoique les coûts annuels seront moins importants, (Сa1) = 30 000 roubles. La deuxième variante prévoit l’utilisation des conduites d’un diamètre inférieur à celui de la première variante, ce qui réduit les coûts d’investissement, (Ci2) = 160 000 roubles, mais augmente les coûts annuels d’entretien jusqu’à (Сa2) = 36 000 roubles. Les deux variantes prévoient (n) = 10 ans d’exploitation.

Données initiales: Ci1 = 200 000 roubles; Сa1 = 30 000 roubles; Ci2 = 160 000 roubles; Сa2 = 35 000 roubles; n = 10 ans.

Problème: définir la solution la plus avantageuse du point de vue économique.

Solution: évidemment, le volume des coûts d’investissement rend la deuxième variante plus avantageuse par rapport à la première, mais la première variante propose des dépenses d'exploitation inférieures par rapport à la deuxième. Servons-nous de la formule de calcul de la période d'amortissement des coûts d’investissement complémentaires aux dépens des économies d’exploitation:

na = (Ci1i2)/(Сa2a1) = (200000-160000)/(35000-30000) = 8 ans

Ainsi, dans le cas de 8 ans d’exploitation c’est la deuxième variante, qui offre un avantage économique grâce au volume inférieur des coûts d’investissement, mais dans 8 ans les coûts généraux des deux variantes deviendront identiques, après quoi la première variante se révèlera plus avantageuse.

Compte tenu du fait que la conduite va être utilisée pendant 10 années, la première variante sera optimale du point de vue économique.

Problème №3. Calcul et choix du diamètre optimal d’une conduite

Enoncé: deux lignes de production sont conçues pour transporter un liquide non visqueux avec des débits de (Q1) = 20 m3/h et de (Q2) = 30 m3/h. Afin de faciliter les travaux de montage et l’exploitation des conduites il a été décidé d’utiliser pour les deux lignes des tubes de diamètre identique.

Données initiales: Q1 = 20 m3/h; Q2 = 30 m3/h.

Problème: calculer le diamètre optimal de la tube (d).

Solution: d’autres conditions n’étant pas indiquées, la possibilité de pomper le liquide avec les débits indiqués devient le critère principal de conformité à l’énoncé du problème. Servons-nous des données tabulaires des vitesses optimales pour un liquide non visqueux dans une conduite de refoulement. Ce diapason sera égal à 1,5 – 3 m/sec.

Il s’en suit que nous pouvons définir les diapasons des diamètres optimaux correspondant au diapason des vitesses optimales pour de différents débits et déterminer l’espace de leur croisement. Les diamètres des tubes de cet espace vont, évidemment, satisfaire à l’obligation d’applicabilité dans le cas des débits indiqués.

Définissons le diapason des diamètres optimaux pour le cas (Q1) = 20 m3/h, en utilisant la formule de débit et en exprimant de cette formule le diamètre du tube:

Q = [(Π·d²)/4] · v

D’où:

d = √(4·Q)/(Π·v)

Utilisons les valeurs maximale et minimale de la vitesse optimale:

d1min = √(4·20)/(3600·3,14·1,5) = 0,069 m

d1max = √(4·20)/(3600·3,14·3) = 0,049 m

C’est-à-dire, le diamètre des tubes pour les lignes au débit de 20 m3/h doit être de 49 mm à 69 mm.

Définissons le diapason des diamètres optimaux pour le cas (Q2) = 30 m3/h:

d2min = √(4·30)/(3600·3,14·1,5) = 0,084 m

d2max = √(4·30)/(3600·3,14·3) = 0,059 m

Ainsi, le diapason des diamètres optimaux pour la première variante sera de 49 mm à 69 mm, pour la deuxième variante – de 59 mm à 84 mm. Le croisement de ces deux diapasons représente l’ensemble des valeurs désirées. Ainsi, le diamètre optimal des tubes pour les deux lignes de production est de 59 mm à 69 mm.

Problème №4. Calcul du régime du courant d’eau dans un tube

Enoncé: nous disposons d’une conduite de 0,2 m de diamètre. Le débit d’eau passant via la conduite est égal à 90 m3/h. La température de l’eau (t) = 20 °C. La viscosité dynamique à cette température est de 1·10-3 Pа·sec. La densité est de 998 kg/m3.

Données initiales: d = 0,2 m; Q = 90 m3/h; μ = 1·10-3; ρ = 998 kg/m3.

Problème: calculer le régime du courant d’eau dans le tube.

Solution: le régime du courant peut être défini d’après le nombre de Reynolds (Re), dont le calcul nécessite de trouver d’abord la valeur de la vitesse du flux d’eau dans le tube (v). Cette valeur (v) peut être calculée de l’équation de débit pour un tube de section circulaire:

Q = v·(Π·d²)/4

D’où:

v = Q·4/(Π·d²) = [90/3600] · [4/(3,14·0,2²)] = 0,8 m/sec

Ayant trouvé la vitesse du flux, calculons le nombre de Reynolds:

Re = (ρ·v·d)/μ = (998·0,8·0,2) / (1·10-3) = 159680

La valeur critique du nombre de Reynolds (Recr) pour un tube de section circulaire est égale à 2300. La valeur reçue dépasse la valeur critique (159680 > 2300), ce qui nous permet de conclure que le régime du courant est turbulent.

Problème №5. Calcul du nombre de Reynolds

Calcul du nombre de Reynolds

Enoncé: l’eau coule sur un plan incliné à section rectangulaire d’une largeur (w) = 500 mm et d’une hauteur (h) = 300 mm. La distance entre l’arête supérieure du plan et la surface de l’eau (a) = 50 mm. Le débit de l’eau (Q) = 200 m3/h. La densité de l’eau (ρ) = 1000 kg/m3. La viscosité dynamique de l’eau (μ) = 1·10-3 Pа·sec.

Données initiales: w = 500 mm; h = 300 mm; l = 5000 mm; a = 50 mm; Q = 200 m3/h; ρ = 1000 kg/m3; μ = 1·10-3 Pа·sec.

Problème: calculer le nombre de Reynolds.

Solution: compte tenu du fait que dans ce cas le liquide coule sur un plan à section rectangulaire et non pas dans un tube à section circulaire, il est nécessaire de trouver le diamètre équivalent du canal pour des calculs ultérieurs. En règle générale il est calculé à l’aide de la formule suivante:

déquiv = (4·Fl)/Pm

Où:
Fl – la surface de section du flux liquide;
Pm – le périmètre mouillé.

Il est évident que la largeur du flux liquide est égale à la largeur du canal (w), tandis que la hauteur du flux liquide sera égale à h-a mm. Recevons ainsi:

Pm = w+2·(h-a) = 0,5+2·(0,3-0,05) = 1 m

Fl = w·(h-a) = 0,5·(0,3-0,05) = 0,125 m2

Il est maintenant possible de trouver le diamètre équivalent du flux liquide:

Déquiv = (4·Fl)/Pm = (4·0,125)/1 = 0,5 m

Servons-nous de la formule de débit exprimé via la vitesse du flux et sa surface de section pour calculer la vitesse du flux:

Q = v·Fl m/sec

v = Q/Fl = 200/(3600·0,125) = 0,45

A l’aide des valeurs trouvées ci-dessus utilisons la formule suivante pour calculer le nombre de Reynolds:

Re = (ρ·v·déquiv)/μ = (1000·0,45·0,5) / (1·10-3) = 225000

Problème №6. Calcul et définition du volume des pertes de charge dans une conduite

Calcul et définition du volume des pertes de charge dans une conduite

Enoncé: l’eau est apportée dans une conduite à section circulaire vers le consommateur final par une pompe. La configuration de la conduite est présentée sur la figure ci-dessus. Le débit de l’eau (Q) = 7 m3/h. Le diamètre du tube (d) = 50 mm, la rugosité absolue (Δ) = 0,2 mm. La densité de l’eau (ρ) = 1000 kg/m3. La viscosité dynamique (μ) = 1·10-3 Pа·sec.

Données initiales: Q = 7 m3/h; d = 120 mm; Δ = 0,2 mm; ρ = 1000 kg/m3; μ = 1·10-3Pа·sec.

Problème: calculer le volume des pertes totales de charge dans la conduite (Hpt).

Solution: calculons d’abord la vitesse du flux dans la conduite en utilisant la formule de débit d’un liquide:

v = (4·Q) / (Π·d²) = [(4·7)/(3,14·0,05²)] · 1/3600 = 1 m/sec

La vitesse trouvée nous permet de calculer le nombre de Reynolds pour le flux en question:

Re = (w·d·ρ)/μ = (1·0,05·1000) / (1·10-3) = 50000

Le volume sommaire des pertes de charge est déterminé par les pertes de frottement lors du passage du flux liquide dans le tube (Hfr), ainsi que par les pertes de charge causées par les résistances locales (Hrl).

Les pertes de frottement sont calculées par le biais de la formule suivante:

Hfr = [(λ·l)/déquiv] · [v²/(2·g)]

Où:
λ – le coefficient de frottement;
L – la longueur totale de la conduite;
[v²/(2·g)] – la charge dynamique du flux.

Calculons la charge dynamique du flux:

v²/(2·g) = 1²/(2·9,81) = 0,051 m

Afin de trouver la valeur du coefficient de frottement il faut choisir la bonne formule de calcul qui dépend du nombre de Reynolds. Calculons la rugosité relative du tube à l’aide de la formule suivante:

e = Δ/d = 0,2/50 = 0,004

Calculons deux valeurs complémentaires:

10/e = 10/0,004 = 2500

Le nombre de Reynolds trouvé ci-dessus appartient au diapason 10/e < Re < 560/e, ce qui nous indique que la bonne formule sera celle-ci:

λ = 0,11·(e+68/Re)0,25 = 0,11·(0,004+68/50000)0,25 = 0,03

Il est maintenant possible de définir le volume des pertes de charge de frottement:

Hfr = [(λ·l)/d] · [v²/(2·g)] = [(0,03·30)/0,05] · 0,051 = 0,918 m

Les pertes totales de charge causées par des résistances locales sont déterminées par des pertes de charge causées par chaque résistance locale, qui sont représentées dans ce problème par deux tournants et un robinet-soupape normal. Les pertes totales peuvent être calculées par le biais de la formule suivante:

∑ζrl·[v²/(2·g)]

où ζ – le coefficient de la résistance locale.

Les coefficients de charge tabulaires n’incluent pas les valeurs pour les tubes de 50 mm de diamètre ! Il faudra, donc, utiliser la méthode du calcul approximatif pour les trouver. Le coefficient de résistance (ζ) d’un robinet-soupape normal est égal à 4,9 pour un tube de 40 mm et 4 pour un tube de 80 mm. Supposons que les valeurs intermédiaires entre ces deux chiffres se situent sur une ligne droite, ce qui veut dire que leur changement est défini par la formule ζ = a·d+b, où a et b sont les coefficients de l’équation d’une ligne droite. Trouvons la solution du système d'équations ci-dessous:

{

4,9 = a·40+b
4 = a·80+b

=

{

a = -0,0225
b = 5,8

Recevons l’équation finale suivante:

ζ = -0,0225·d + 5,8 = -0,0225·50 + 5,8 = 4,675

Dans le cas du coefficient de résistance d’un tuyau cintré à 90° du tube de 50 mm de diamètre le calcul approximatif détaillé n’est pas nécessaire, puisque le diamètre de 50 mm correspond au coefficient 1,1.

Calculons les pertes totales causées par les résistances locales:

Hrl = ∑ζrl ·[v²/(2·g)] = 0,051·(2·1,1+4,671) = 0,35 m

Ainsi, les pertes totales de charge seront:

Hpt = HT+Hrl = 0,918+0,35 = 1,268 m

Problème №7. Calcul de changement de la résistance hydraulique de l’ensemble d’une conduite

Calcul de changement de la résistance hydraulique de l’ensemble d’une conduite

Enoncé: au cours des travaux de réparation de la conduite principale qui pompe de l’eau à la vitesse de (v1) = 2 m/sec, avec un diamètre intérieur de (d1) = 0,5 m, il s'est révélé qu'un secteur de tube d’une longueur de (L) = 25 m doit être remplacé. Le tube du même diamètre n’étant pas disponible, le secteur endommagé était remplacé par un tube de diamètre intérieur de (d2) = 0,45 m. La rugosité absolue du tube de 0,5 m de diamètre (Δ1) = 0,45 mm, celle du tube de 0,45 m de diamètre — (Δ2) = 0,2 mm. La densité de l’eau (ρ) = 1000 kg/m3, la viscosité dynamique (μ) = 1·10-3 Pа·sec.

Données initiales: d1 = 0,5 m; d2 = 0,45 m; L = 25 m; v1 = 2 m/sec; Δ1 = 0,45 mm; Δ2 = 0,2 mm; ρ = 1000 kg/m3; μ = 1·10-3 Pа·sec.

Problème: définir comment va changer la résistance hydraulique de l’ensemble de la conduite.

Solution: le reste de la conduite n’ayant pas été modifié, sa résistance hydraulique après les travaux de réparation n’a pas changé non plus, c’est pourquoi afin de résoudre le problème il suffira de comparer les résistances hydrauliques du secteur remplacé du tube et de celui par lequel il a été remplacé.

Calculons la résistance hydraulique du secteur remplacé (H1). Les sources des résistances locales n'étant pas présentes sur ce secteur, il suffira de trouver la valeur des pertes de frottement (Hfr1):

Hfr1 = [(λ1·l)/d1] · [(v1²)/(2·g)]

Où:
λ1 – le coefficient de résistance hydraulique du secteur remplacé;
g – l’accélération de la pesanteur.

Avant de calculer (λ) il est nécessaire de trouver la rugosité relative du tube (e1) et le nombre de Reynolds (Re1):

e1 = Δ1/d1 = 0,45/500 = 0,0009

Re1 = (v1·d1·ρ)/μ = (2·0,5·1000)/(1·10-3) = 1000000

Déterminons la formule pour calculer (λ1):

10/e1 = 10/0,0009 = 11111

560/e1 = 560/0,0009 = 622222

(Re1) étant > 560/e1, la valeur (λ1) doit être calculée selon la formule suivante:

λ1 = 0,11·e10,25 = 0,11·0,00090,25 = 0,019

Il est maintenant possible de calculer la chute de charge pour le secteur remplacé du tube:

H1 = H_fr1 = (λ1·l)/d1 ·[(v1²)/(2·g)] = (0,019·25)/0,5·2²/(2·9,81) = 0,194 m

Calculons la résistance hydraulique du secteur du tube qui a remplacé le secteur initial (H2). Dans ce cas le secteur subit non seulement la chute de charge causée par des pertes de frottement (Hfr2), mais aussi la chute de charge à cause des résistances locales (Hrl2), représentées par le rétrécissement brusque de la conduite à l’entrée du secteur remplacé et l’élargissement brusque à sa sortie.

Calculons d’abord la valeur de la chute de charge causée par des pertes de frottement pour le nouveau secteur du tube. Le diamètre s’étant rétréci et le débit étant resté sans changements, il est nécessaire de calculer la nouvelle valeur de la vitesse du flux (v2). La valeur désirée peut être déduite de la différence des débits calculés pour le secteur remplacé et celui nouveau:

v1·(Π·d1²)/4 = v2·(Π·d2²)/4

d'où:

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(500/450)² = 2,47 m/sec

Le nombre de Reynolds pour le flux de l’eau dans le secteur nouveau sera:

Re2 = (v2·d2·ρ)/μ = (2,47·0,45·1000)/(1·10-3) = 1111500

Calculons maintenant la rugosité relative pour le secteur du tube de 450 mm de diamètre et définissons la formule pour calculer le coefficient de frottement:

e2 = Δ2/d2 = 0,2/450 = 0,00044

10/e2 = 10/0,00044 = 22727

560/e2 = 560/0,00044 = 1272727

La valeur reçue de (Re2) se situe dans le diapason entre 10/e1 et 560/e1 (22 727 < 1 111 500 < 1 272 727), c’est pourquoi la valeur (λ2) sera calculée par la biais de la formule suivante:

λ2 = 0,11·(e2+68/Re2)0,25 = 0,11·(0,00044+68/1111500)0,25 = 0,0165

Il est maintenant possible de calculer le volume des pertes de frottement dans le secteur nouveau:

Hfr2 = [(λ2·l)/d2] · [(v2²)/(2·g)] = [(0,0165·25)/0,45] · [2,47²/(2·9,81)] = 0,285 m

Les pertes de charge causées par les résistances locales seront définies par les pertes à l’entrée dans le secteur remplacé (rétrécissement brusque du canal) et à sa sortie (élargissement brusque du canal). Calculons le rapport des surfaces du secteur initial et du secteur nouveau:

F2/F1 = (d2²)/(d1²) = (0,45/0,5)² = 0,81

Choisissons les coefficients de résistance locale selon les valeurs tabulaires: pour le rétrécissement brusque le coefficient (ζrb) sera égal à 0,1; pour l’élargissement brusque le coefficient (ζéb) sera égal à 0,04. Servons-nous des données reçues pour calculer les pertes totales de charge causées par les résistances locales:

Hrl2 = ∑ζrl · [v²/(2·g)] = [ζrb·(v1²)/(2·g)] + [ζéb·(v2²)/(2·g)] = [0,1·2²/(2·9,81)] + [0,04·2,47²/(2·9,81)] = 0,032 m

Il s’en suit que la chute totale de charge dans le secteur nouveau est égale à:

H2 = Hfr2+Hrl2 = 0,285+0,032 = 0,317 m

Connaissant les pertes de charge dans le secteur remplacé et le secteur nouveau calculons leur différence:

∆H = 0,317-0,194 = 0,123 m

Ainsi, après le remplacement d’un secteur de la conduite les pertes totales de charge ont augmenté de 0,123 m.

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